Question

定义域为R的函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)的部分图象如图所示，求：
（1）f（x）的表达式；
（2）f（x）的单调增区间；
（3）f（x）的对称轴和对称中心；
（4）f（x）的最小值以及取得最小值时的x的集合．

Answer 1

分析：（1）由图知，

3

4

T=

3π

4

，从而可求得ω=2，由-

π

12

×2+φ=2kπ（k∈Z），|φ|＜

π

2

，可求得φ，从而得f（x）的表达式；
（2）利用正弦函数的单调性，解不等式-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z即可求得f（x）的单调增区间；
（3）利用正弦函数的对称性即可求得f（x）=2sin（2x+

π

6

）的对称轴方程及对策中心；
（4）由正弦函数的最值性质可求得f（x）的最小值以及取得最小值时的x的集合．

解答：解：（1）由图知A=2，

3

4

•

2π

ω

=

2π

3

-（-

π

12

）=

3π

4

，
∴ω=2，
又-

π

12

×2+φ=2kπ（k∈Z），
∴φ=2kπ+

π

6

（k∈Z），
又|φ|＜

π

2

，
∴φ=

π

6

，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）；
（2）由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z得：kπ-

π

3

≤x≤

π

6

+kπ，k∈Z，

∴f（x）的单调增区间为[kπ-

π

3

，

π

6

+kπ]（k∈Z）；
（3）由2x+

π

6

=

π

2

+kπ（k∈Z）得：x=

π

6

+k

π

2

（k∈Z），
∴其对称轴方程为：x=

π

6

+k

π

2

（k∈Z）；
由2x+

π

6

=kπ（k∈Z），得x=

kπ

2

-

π

12

，k∈Z．
∴其对称中心为：（-

π

12

+k

π

2

，0）（k∈Z）；
（4）f（x）_min=-2，由2sin（2x+

π

6

）=-2，得sin（2x+

π

6

）=-1，
∴2x+

π

6

=-

π

2

+2kπ（k∈Z），
∴x=-

π

3

+kπ，k∈Z．
∴f（x）取得最小值时的x的集合为：{x|x=-

π

3

+kπ，k∈Z}．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，着重考查正弦函数的单调性、对称性、周期性及最值，属于中档题．