Question

已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且满足对任意的x＞0，y＞0，f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1．当x＞1时，f（x）＞0．
（1）求f（9）的值
（2）判断f（x）的单调性，并加以证明
（3）解不等式f（x）+f（x-8）＜2．

Answer 1

解：（1）∵对任意的x＞0，y＞0，f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=3，结合f（3）=1可得：
f（9）=f（3）+f（3）=2
证明：（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂
∴＞1，
∴f（＞0
即f（x₂）＞f（x₁）
∴函数f（x）是定义在（0，+∞）上为增函数
解：（3）∵f（x）+f（x-8）=f[x（x-8）]＜f（9）
又函数f（x）是定义在（0，+∞）上为增函数
∴?8＜x＜9
即原不等式的解集为（8，9）
分析：（1）由已知中任意的x＞0，y＞0，f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1．令x=y=3，即可得到f（9）的值
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，根据f（xy）=f（x）+f（y），可得，结合当x＞1时，f（x）＞0，易得f（x₂）＞f（x₁），由函数单调性的定义，易得函数f（x）是定义在（0，+∞）上为增函数
（3）根据（1）、（2）的结论，我们可将不等式f（x）+f（x-8）＜2转化成一个关于x的一元二次不等式，解不等式即可得到答案．
点评：本题考查的知识点是抽象及其应用，函数的单调性的判断与证明，函数的值，其中抽象函数中“凑”的思想是解答此类问题的关键，如（1）中x=y=3，（2）中将f（xy）=f（x）+f（y），凑成．