Question

一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”与出现“×”的概率均为

1

2

，若第k次出现“○”，则a_k=1；出现“×”，则a_k=-1．令S_n=a₁+a₂+…+a_n（n∈N^*）．
（I）求S₆=2的概率；
（II）求S₈=2且S_i≥0（i=1，2，3，4）的概率．

Answer 1

分析：（I）S₆=2的事件相当于6次电脑屏幕保护画面中恰好4次出现“○”，由此能求出其概率；
（II）由S₈=2知，即前八秒出现“○”5次和“×”3次，又S_i≥0（i=1，2，3，4）知包括两种情形：若第一、三秒出现“○”，则其余六秒可任意出现“○”3次；或者若第一、二秒出现“○”，第三秒出现“×”，则后五秒可任出现○”3次．分别求出它们的概率后求和即得．

解答：解：（1）S₆=2的事件相当于6次电脑屏幕保护画面中恰好4次出现“○”，
其概率p（S₆=2）=

C

4 6

(

1

2

)4(

1

2

)2=

15

64

．
（2）当S₈=2时，即前八秒出现“○”5次和“×”3次，又已知S_i≥0（i=1，2，3，4），
若第一、三秒出现“○”，则其余六秒可任意出现“○”3次；
若第一、二秒出现“○”，第三秒出现“×”，则后五秒可任出现“○”3次．
故此时的概率为p=(

C

3 6

+

C

3 5

)  •(

1

2

)5•(

1

2

)3=

15

128

．

点评：本题考查n次独立试恰好发生k次的概率，解题时要注意培养离散型随机变量及其分布列、古典概率及数据计算的能力．