Question

已知△ABC的面积S=

1

4

（b²+c²-a²），其中a，b，c分别为角A，B，C所对的边，
（1）求角A的大小；
（2）若a=2，求bc的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的面积公式化简已知等式的左边，利用余弦定理表示出cosA，变形后代入等式的右边，利用同角三角函数间的基本关系弦化切整理后求出tanA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（2）先根据（1）得出bc≥

2

2

bc-

2

，进而可知（1-

2

2

）bc≤

2

，然后即可求出bc的最大值．

解答：解：（1）∵S=

1

2

bc•sinA   cosA=

b2+c2-a2

2bc

即b²+c²-a²=2bc•cosA
∴S=

1

4

（b²+c²-a²）变形得

1

4

×2bc•cosA=

1

2

bc•sinA  
∴tanA=1
又0＜A＜π，
∴A=

π

4

．
（2）由（1）bc=

2

4

（b²+c²-a²）≥

2

4

（2bc-4）=

2

2

bc-

2

∴（1-

2

2

）bc≤

2

∴bc≤4+2

2

∴bc的最大值为4+2

2

．

点评：此题考查了三角形的面积公式，余弦定理以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．