Question

已知点（1，

1

3

）是函数f（x）=a^x（a＞0）且a≠1）的图象上一点，等比数列{a_n}的前n项和T_n=f（n）-c（c为常数）．数列{b_n}的各项为正数，首项为c，前n项和S_n满足S_n-S_n-1=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）．
（Ⅰ）求常数c；
（Ⅱ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（I）把点（1，

1

3

）代入函数f（x）=a^x（a＞0）且a≠1），即可得出a．分别求出a₁，a₂，a₃，利用数列{a_n}成等比数列，可得

a

2 2

=a1a3，即可解出c．
（II）利用q=

a2

a1

即可得出公比q，再利用通项公式即可得出a_n．利用Sn-Sn-1=

Sn

+

Sn-1

，通过因式分解可得(

Sn

-

Sn-1

)(

Sn

+

Sn-1

)=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）．进而得出

Sn

-

Sn-1

=1（n≥2）．再利用等差数列的通项公式即可得出S_n．当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1即可得出b_n．

解答：解：（I）∵f（1）=a=

1

3

，∴f(x)=(

1

3

)x．
∵a1=f(1)-c=

1

3

-c，a₂=T₂-T₁=[f（2）-c]-[f（1）-c]=(

1

3

)2-

1

3

=-

2

9

，
a₃=T₃-T₂=[f（3）-c]-[f（2）-c]=(

1

3

)3-(

1

3

)2=-

2

27

．
又数列{a_n}成等比数列，∴

a

2 2

=a1a3，
∴(-

2

9

)2= (

1

3

-c)(-

2

27

)，∴c=1．
（II）由题意，数列{a_n}的公比q=

a2

a1

=

1

3

，
∴an=-

2

3

•(

1

3

)n-1=-2•(

1

3

)n（n∈N^*）．
∵Sn-Sn-1=

Sn

+

Sn-1

，
∴(

Sn

-

Sn-1

)(

Sn

+

Sn-1

)=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）．
而b_n＞0，

Sn

＞0，∴

Sn

-

Sn-1

=1（n≥2）．
即数列{

Sn

}构成一个首项为1，公差为1的等差数列，
∴

Sn

=1+(n-1)•1=n，∴Sn=n2．
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
又b₁=1也适合上式，
∴b_n=2n-1（n∈N^*）．

点评：熟练掌握等差数列与等比数列的定义、通项公式及“当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1”求通项公式等是解题的关键．