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【题目】已知函数.

(1)求的单调区间;

(2)若,证明:

(3)若,直线与曲线相切,证明:.

(参考数据:

【答案】(1)上单调递增, 在上单调递减;(2)见证明;(3)见证明

【解析】

(1)先求得,利用当,得的单调递增区间,由,得的单调递减区间.

(2)分析可得0是的极小值点,求得a,构造函数,利用导函数分析可得上单调递减,在上单调递增.则.

从而.

(3)设切点为,列出消掉k,得到.构造函数,分析可得.

构造,分析得到为增函数,可得.得到.

(1).

,得,则上单调递增;

,得,则上单调递减.

(2)因为,所以,则0是的极小值点.

由(1)知,则.

设函数,则.

设函数,则.易知.

恒成立.

,得;令,得.

上单调递减,在上单调递增.

.

从而,即.

(3)设切点为,

时,

.

.

设函数

,则为增函数.

.

,则.

,则为增函数.

.又.

.

练习册系列答案
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(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由;

(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数,并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表:

超过

不超过

第一种生产方式

第二种生产方式

(3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?

附:

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【题目】为迎接2022年北京冬季奥运会,普及冬奥知识,某校开展了冰雪答题王冬奥知识竞赛活动.现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取了100名学生,将他们的比赛成绩(满分为100分)分为6组:得到如图所示的频率分布直方图.

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)记表示事件从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取一名学生,该学生的比赛成绩不低于80,估计的概率;

(Ⅲ)在抽取的100名学生中,规定:比赛成绩不低于80分为优秀,比赛成绩低于80分为非优秀.请在答题卡上将列联表补充完整,并判断是否有的把握认为比赛成绩是否优秀与性别有关

参考公式及数据:

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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(1)求的值和样本的平均数;

(2)从该样本成绩优秀的学生中任选两名,求这两名学生的成绩至少有一个落在内的概率.

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1)令,猜想的表达式,并给出证明;

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(1)求证:

(2)若是正三角形,求三棱柱的体积.

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