Question

14．在极坐标系中，设直线l过点$A（\sqrt{3}，\frac{2π}{3}），B（3，\frac{π}{2}）$，且直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点，求实数a的值．

Answer 1

分析 求出点A，B的直角坐标，利用点斜式方程得出直线l的直角坐标方程，再求出曲线C的普通方程，求出圆心和半径，利用d=r构建出a的方程，解出a的值．

解答 解：由直线l过点$A（\sqrt{3}，\frac{2π}{3}），B（3，\frac{π}{2}）$，
可得A，B的直角坐标为A（$-\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），B（0，3），
直线AB的斜率k=$\frac{\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{3}}}{2}$=$\sqrt{3}$，
即有直线l的方程为：y-3=$\sqrt{3}$x，即y=$\sqrt{3}$x+3，
由曲线C：ρ=asinθ（a＞0），
可得曲线C的普通方程为x²+y²-ay=0，
即有圆心C（0，$\frac{a}{2}$），r=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{a}^{2}}$=$\frac{a}{2}$，
直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点
即直线和圆相切，可得$\frac{|-\frac{a}{2}+3|}{\sqrt{3+1}}=\frac{a}{2}$，
解得a=2或-6，
由a＞0，可得a=2．

点评 本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线与圆的位置关系，主要是相切的条件：d=r，考查运算能力，属于中档题．