Question

已知下列4个命题：
①若f（x）为减函数，则-f（x）为增函数；
②若f（x）为增函数，则函数g(x)=

1

f(x)

在其定义域内为减函数；
③若函数f(x)=

(2-m)x+2m(x＜1) (m-1)|x+1|(x≥1)

在R上是增函数，则a的取值范围是1＜m＜2；
④函数f（x），g（x）在区间[-a，a]（a＞0）上都是奇函数，则f（x）•g（x）在区间[-a，a]（a＞0）是偶函数．
其中正确命题的序号是

①，④

．

Answer 1

分析：①②可以运用减函数定义证明；
③是分段函数，需要保证两段都是增的，同时需要上一段的最小值大于下一段的最大值；
④运用函数奇偶性的定义证明．

解答：解：①因为f（x）为减函数，则对其定义域内的任意x₁，x₂，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），
令g（x）=-f（x），则g（x₁）-g（x₂）=-f（x₁）-[-f（x₂）]=f（x₂）-f（x₁）＜0，所以-f（x₁）＜-f（x₂），所以-f（x）为增函数，所以①正确；
②因为f（x）为增函数，则对其定义域内的任意x₁，x₂，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），
则g（x₁）-g（x₂）=

1

f(x1)

-

1

f(x2)

=

f(x2)-f(x1)

f(x1)f(x2)

，因为f（x₁）＜f（x₂），所以f（x₂）-f（x₁）＞0，
当f（x₁）与f（x₂）同号时

1

f(x1)

-

1

f(x2)

＞0，g（x₁）＞g（x₂），函数为减函数，反之，函数为增函数，所以②不正确；
③f(x)=

(2-m)+2m(x＜1) (m-1)|x+1|(x≥1)

=

(2-m)x+2m(x＜1) (m-1)x+m-1(x≥1)

因为函数f(x)=

(2-m)x+2m(x＜1) (m-1)|x+1|(x≥1)

在R上是增函数，
所以

2-m＞0 m-1＞0 2-m+2m≤m-1+m-1

解得：m∈∅，所以③不正确；
④函数f（x），g（x）在区间[-a，a]（a＞0）上都是奇函数，则f（-x）•g（-x）=-f（x）•[-g（x）]=f（x）•g（x），
所以f（x）•g（x）在区间[-a，a]（a＞0）是偶函数．
所以④正确．
故答案为①④．

点评：本题考查了命题真假的判断，考查了判断函数单调性和奇偶性的方法，结论是：函数f（x）与-f（x）在相同区间上单调性相反，在相同定义域内，两个奇函数的乘积为偶函数．