Question

8．若对任意的x∈R，都有x³≤a^x（a＞0且a≠1），则实数a的取值范围为[3，+∞）．

Answer 1

分析 根据对任意的x∈R，都有x³≤a^x（a＞0且a≠1），分当0＜a＜1时，当1＜a＜3时，当a=3时，当a＞3时四种情况讨论，最后综合讨论结果，可得答案．

解答 解：当0＜a＜1时，函数y=x³，与函数y=a^x的图象相交，
不满足对任意的x∈R，都有x³≤a^x，
当a=3时，函数y=x³，与函数y=a^x的图象切于（3，3）点，
对任意的x∈R，都有x³≤a^x，
当a＞3时，函数y=x³，与函数y=a^x的图象无公共点，且函数y=x³的图象恒在函数y=a^x的图象的下方，
当1＜a＜3时，函数y=x³，与函数y=a^x的图象相交，不满足对任意的x∈R，都有x³≤a^x，
综上满足条件的实数a的取值范围为[3，+∞），
故答案为：[3，+∞）

点评 本题考查的知识点是指数函数的图象和性质，幂函数的图象和性质，难度中档．