Question

17．在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且满足bsinA+bcosA=c．
（1）求B；
（2）若角A的平分线与BC相交于D点，AD=AC，BD=2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由题意，利用正弦定理可得sinBsinA+sinBcosA=sinC=sin（A+B），由此可求B；
（2）△ABD中，由正弦定理可得$\frac{AB}{sin105°}=\frac{AD}{sin45°}=\frac{2}{sin30°}$，求出AB，AD，AC，即可求△ABC的面积．

解答 解：（1）由题意，利用正弦定理可得sinBsinA+sinBcosA=sinC=sin（A+B），
整理可得sinB=cosB，∴B=$\frac{π}{4}$；
（2）由AD=AC，可知∠ACD=∠ADC．
设∠BAD=∠DAC=α，∠ACD=∠ADC=γ，则$\left\{\begin{array}{l}{45°+2α+β=180°}\\{α+2β=180°}\end{array}\right.$，
∴α=30°，β=75°
△ABD中，由正弦定理可得$\frac{AB}{sin105°}=\frac{AD}{sin45°}=\frac{2}{sin30°}$，
∴AB=$\sqrt{6}+\sqrt{2}$，AD=2$\sqrt{2}$，∴AC=2$\sqrt{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}AB•AC•sin2α$=3+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查正弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．