Question

已知函数f（x）=e^x-ax（a∈R）．
（Ⅰ） 写出函数y=f（x）的图象恒过的定点坐标；
（Ⅱ）直线L为函数y=φ（x）的图象上任意一点P（x₀，y₀）处的切线（P为切点），如果函数y=φ（x）图象上所有的点（点P除外）总在直线L的同侧，则称函数y=φ（x）为“单侧函数”．
（i）当a=

1

2

判断函数y=f（x）是否为“单侧函数”，若是，请加以证明，若不是，请说明理由．
（i i）求证：当x∈（-2，+∞）时，e^x+

1

2

x≥ln（

1

2

x+1）+1．

Answer 1

分析：（I）观察函数的表达式，可得当x=0时，f（x）=1，所以函数y=f（x）的图象恒过定点M（0，1）．
（II）（i）将a=

1

2

代入，得f（x）=e^x-

1

2

x，然后利用导数求得y=f（x）图象在点P（x₀，y₀）处的切线L方程为：y=（ex0-

1

2

）x+ex0（1-x₀），再构造函数F（x）=f（x）-g（x）=e^x-ex0•x+ex0•x₀-ex0，讨论F（x）的单调性得知：当x=x₀时，F（x）有最小值F（x₀）=0．因此，f（x）≥g（x）对任意的x∈R都成立，所以函数f（x）图象上所有的点都位于切线L的上方，由此得当a=

1

2

时，函数y=f（x）是“单侧函数”．
（ii）根据（i）的结论中的不等式，取x₀=0得不等式e^x+

1

2

x≥

1

2

x+1对任意x∈R都成立，然后构造函数G（x）=（

1

2

x+1）-[ln（

1

2

x+1）+1]，讨论G（x）的单调性得到当x=0时，G（x）有最小值G（0）=0，即G（x）≥0对任意x∈（-2，+∞）都成立，从而得到

1

2

x+1≥ln（

1

2

x+1）+1对任意x∈（-2，+∞）都成立．最后利用不等式的传递性，可得当x∈（-2，+∞）时，e^x+

1

2

x≥ln（

1

2

x+1）+1恒成立．

解答：解：（I）∵f（x）=e^x-ax，
∴当x=0时，f（x）=e⁰-a×0=1
所以函数y=f（x）的图象恒过的定点为M（0，1）．
（II）（i）对函数求导数，得f'（x）=e^x-a，
当a=

1

2

时，f'（x）=e^x-

1

2

，
所以函数y=f（x）图象在点P（x₀，y₀）处的切线斜率为k=f'（x₀）=ex0-

1

2

，
可得切线L的方程为：y-y₀=（ex0-

1

2

）（x-x₀）
∵y₀=f（x₀）=ex0-

1

2

x₀，
∴函数y=f（x）图象在点P（x₀，y₀）处的切线L的方程化简，
得：y-（ex0-

1

2

x₀）=（ex0-

1

2

）（x-x₀），即y=（ex0-

1

2

）x+ex0（1-x₀）
设y=g（x）=（ex0-

1

2

）x+ex0（1-x₀），
再记F（x）=f（x）-g（x）=（e^x-

1

2

x）-[（ex0-

1

2

）x+ex0（1-x₀）]=e^x-ex0•x+ex0•x₀-ex0，
对F（x）求导数，得F'（x）=e^x-ex0，
当x＞x₀时，F'（x）＞0，得函数F（x）在区间（x₀，+∞）为增函数；
当x＜x₀时，F'（x）＜0，得函数F（x）在区间（-∞，x₀）为减函数，
∴当x=x₀时，F（x）有最小值F（x₀）=0．即F（x）≥0对任意的x∈R，都有F（x₀）≥0，
也就是f（x）≥g（x）对任意的x∈R都成立．
因此，函数f（x）图象上所有的点都位于切线L的上方，由此可得当a=

1

2

时，函数y=f（x）是“单侧函数”．
（ii）由（i）的证明可得e^x+

1

2

x≥（ex0-

1

2

）x+ex0（1-x₀），
取x₀=0，得不等式e^x+

1

2

x≥

1

2

x+1对任意x∈R都成立…①，
接下来证明

1

2

x+1≥ln（

1

2

x+1）+1在区间（-2，+∞）上恒成立：
记函数G（x）=（

1

2

x+1）-[ln（

1

2

x+1）+1]=

1

2

x-ln（

1

2

x+1），
对G（x）求导数，得G'（x）=

1

2

-

1

1 2 x+1

•

1

2

=

x

2(x+2)

∴当x＞0时，G'（x）＞0，得函数G（x）在区间（0，+∞）为增函数；
当-2＜x＜0时，F'（x）＜0，得函数F（x）在区间（-2，0）为减函数，
可得当x=0时，G（x）有最小值G（0）=0，即G（x）≥0对任意的x∈（-2，+∞）都成立．
所以不等式

1

2

x+1≥ln（

1

2

x+1）+1在区间（-2，+∞）上恒成立…②，
对照①②可得e^x+

1

2

x≥

1

2

x+1≥ln（

1

2

x+1）+1在区间（-2，+∞）上恒成立，
即当x∈（-2，+∞）时），e^x+

1

2

x≥ln（

1

2

x+1）+1恒成立．

点评：本题给出一个特殊的函数，通过讨论函数的单调性与最值，来证明不等式恒成立，并且用图象解释了不等式的几何意义，考查了利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数求闭区间上函数的最值和函数与不等式的综合应用等知识点，属于难题．