Question

已知圆A：x²+（y+3）²=1和圆B：x²+（y-3）²=81都相切的动圆圆心C的轨迹方程是

 

．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由于动圆与两个定圆都相切，可分两类考虑，结合椭圆的定义，即可得出结论．

解答： 解：由题意，①若两定圆与动圆相外切或都内切，
∴|CA|=|CB|，即C点在线段AB的垂直平分线上
又A，B的坐标分别为（0，-3）与（0，3）
∴其垂直平分线为x轴，
∴动圆圆心M的轨迹方程是y=0；
②若一内切一外切，与圆A：x²+（y+3）²=1外切，与圆B：x²+（y-3）²=81内切，则CB=9-r，CA=1+r，CB+CA=10＞6，由椭圆的定义知，点C的轨迹是以（0，-3）与（0，3）为焦点，以10为长轴长的椭圆，故可得b²=16，故此椭圆的方程为

y2

25

+

x2

16

=1．
综①②知，动圆M的轨迹方程为

y2

25

+

x2

16

=1或y=0．
故答案为：

y2

25

+

x2

16

=1或y=0．

点评：本题考查圆与圆的位置关系，及垂直平分线的定义，考查椭圆的定义，考查分类讨论的数学思想．