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     设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB上的点。记。证明：。

     

     

     

     

     

     

     

     

    【答案】

     证明  由                          ---------5分

    。                           ---------- 10分

    所以，

    =。  ----20分

    因此，等号成立，当且仅当，D与C重合，

    或E与A重合，或F与B重合。                            ----- 25分

     

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，P-ABC是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点，截面DEF∥底面ABC，且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等．（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）
    （1）证明：P-ABC为正四面体；
    （2）若PD=PA=
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    求二面角D-BC-A的大小；（结果用反三角函数值表示）
    （3）设棱台DEF-ABC的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （04年上海卷）(16分)

    如图,P-ABC是底面边长为1的正三棱锥,D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点, 截面DEF∥底面ABC, 且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)

    (1)     证明：P-ABC为正四面体；

    (2)     若PD=PA, 求二面角D-BC-A的大小；(结果用反三角函数值表示)

    (3)     设棱台DEF-ABC的体积为V, 是否存在体积为V且各棱长均相等的直

    平行六面体,使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和? 若存在,请具体构造

    出这样的一个直平行六面体,并给出证明；若不存在,请说明理由.

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    科目：高中数学 来源：2014届广东实验中学高二上学期期中理科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    （本小题满分14分）

    如图,P-ABC是底面边长为1的正三棱锥,D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点, 截面DEF∥底面ABC, 且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)

    （1）求证：P-ABC为正四面体；

    （2）棱PA上是否存在一点M，使得BM与面ABC所成的角为45°？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由。

    （3）设棱台DEF-ABC的体积为V=, 是否存在体积为V且各棱长均相等的平行六面体,使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和，并且该平行六面体的一条侧棱与底面两条棱所成的角均为60°? 若存在,请具体构造出这样的一个平行六面体,并给出证明；若不存在,请说明理由.

     

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    科目：高中数学 来源：2012年人教A版高中数学必修二空间点、直线、平面之间的位置关系练习卷（二） 题型：解答题

    如图，正三角形ABC的边长为2，D、E、F分别为各边的中点将△ABC沿DE、EF、DF折叠，使A、B、C三点重合，构成三棱锥A— DEF  ．

    (I)求平面ADE与底面DEF所成二面角的余弦值

    (Ⅱ)设点M、N分别在AD、EF上， (λ＞O，λ为变量)

    ①当λ为何值时，MN为异面直线AD与EF的公垂线段? 请证明你的结论②设异面直线MN与AE所成的角为a，异面直线MN与DF所成的角为β，试求a+β 的值

     

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