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【题目】已知点在抛物线上,过点的直线与抛物线交于AB两点,又过AB两点分作抛物线的切线,两条切线交于P点.记直线PAPB的斜率分别为

1)求的值;

2,求四边形PAEG面积的最小值.

【答案】12

【解析】

1)设的方程为,根据点在抛物线上,解得,得到抛物线的方程,联立,得,设直线PAPB的斜率分别为,利用导数的几何意义可得,然后利用韦达定理求解.

2)由(1)可得直线PA的方程为,直线PB的方程为,两式联立得到点P的坐标,然后再求弦长及点P到直线AB的距离,得到,用导数法求得求最小值,再根据,得到ABGE是平行四边形,由求解.

1)由题意设的方程为

因为点在抛物线上,

∴抛物线的方程为

联立,得

,则

设直线PAPB的斜率分别为

求导得

.

2)如图所示:

由(1)可得直线PA的方程为

直线PB的方程为,②

联立①②,得点P的坐标为

由(1)得

于是

P到直线AB的距离

时,,当时,

所以时,的面积取得最小值

,且

所以ABGE是平行四边形,

所以

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