【题目】已知点在抛物线上,过点的直线与抛物线交于A,B两点,又过A,B两点分作抛物线的切线,两条切线交于P点.记直线PA、PB的斜率分别为和.
(1)求的值;
(2),,求四边形PAEG面积的最小值.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)设的方程为,根据点在抛物线上,解得,得到抛物线的方程,联立,得,设直线PA,PB的斜率分别为,,利用导数的几何意义可得,,然后利用韦达定理求解.
(2)由(1)可得直线PA的方程为,直线PB的方程为,两式联立得到点P的坐标,然后再求弦长及点P到直线AB的距离,得到,用导数法求得求最小值,再根据,,得到ABGE是平行四边形,由求解.
(1)由题意设的方程为,
因为点在抛物线上,
∴,
∴抛物线的方程为.
联立,得.
,
设,则.
设直线PA,PB的斜率分别为,,
对求导得,
∴,,
∴.
(2)如图所示:
由(1)可得直线PA的方程为①
直线PB的方程为,②
联立①②,得点P的坐标为,
由(1)得,,
∴,
于是,
点P到直线AB的距离,
∴,
,
当时,,当时,,
所以时,的面积取得最小值.
又,,
∴,且
所以ABGE是平行四边形,
所以.
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【题目】(本小题满分14分)已知过原点的动直线与圆 相交于不同的两点,.
(1)求圆的圆心坐标;
(2)求线段的中点的轨迹的方程;
(3)是否存在实数,使得直线 与曲线只有一个交点?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由.
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【题目】已知椭圆的离心率为,分别为椭圆的左右焦点,点为椭圆上的一动点,面积的最大值为2.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线与椭圆的另一个交点为,点,证明:直线与直线关于轴对称.
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【题目】甲、乙、丙、丁、戊5个文艺节目在三家电视台播放,要求每个文艺节目只能独家播放,每家电视台至少播放其中的一个,则不同的播放方案的种数为( )
A.150B.210C.240D.280
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【题目】已知抛物线:(),圆:(),抛物线上的点到其准线的距离的最小值为.
(1)求抛物线的方程及其准线方程;
(2)如图,点是抛物线在第一象限内一点,过点P作圆的两条切线分别交抛物线于点A,B(A,B异于点P),问是否存在圆使AB恰为其切线?若存在,求出r的值;若不存在,说明理由.
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【题目】已知函数,是奇函数.
(1)求实数m的值;
(2)画出函数的图象,并根据图象求解下列问题;
①写出函数的值域;
②若函数在区间上单调递增,求实数a的取值范围.
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