【题目】已知函数f(x)满足:①对于任意实数x,y都有f(x+y)+1=f(x)+f(x)且f()=0;②当x>
时,f(x)<0.
(1)求证:f(x)=+
f(2x);
(2)用数学归纳法证明:当x∈[,
](n∈N*)时, f(x)≤1-
.
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】试题分析:(1)令y=x,可得f(x)=+
f(2x).
(2)根据数学归纳法的证明步骤,即可证明结论。
试题证明: (1)令y=x,可得f(2x)+1=f(x)+f(x),
所以f(x)=+
f(2x).
(2)①当n=1时,x∈[,
],
则2x∈[,1],所以f(2x)≤0,
又f(2x)+1=2f(x),所以f(x)=+
f(2x)≤
=1-
,
所以当n=1时命题成立;
②假设n=k时命题成立,即当x∈[,
](k∈N*)时,f(x)≤1-
,
则当n=k+1时,x∈[,
],2x∈[
,
],则
f(x)=+
f(2x)≤
+
-
=1-,
当n=k+1时命题成立.
综上①②可知,当x∈[,
](n∈N*)时,
f(x)≤1-.
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【题目】设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中a∈R.已知f(x)在x=3处取得极值.
(1)求f(x)的解析式; (2)求f(x)在点A(1,16)处的切线方程.
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【题目】在极坐标系中,直线的极坐标方程为
,现以极点
为原点,极轴为
轴的非负半轴建立平面直角坐标系,曲线
的参数方程为
(
为参数).
(1)求直线的直角坐标方程和曲线
的普通方程;
(2)若曲线为曲线
关于直线
的对称曲线,点
分别为曲线
、曲线
上的动点,点
坐标为
,求
的最小值.
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【题目】已知函数.
(1)判断f(x)的奇偶性,说明理由;
(2)当x>0时,判断f(x)的单调性并加以证明;
(3)若f(2t)-mf(t)>0对于t∈(0,+∞)恒成立,求m的取值范围.
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【题目】设a,b∈R,c∈[0,2π),若对于任意实数x都有2sin(3x﹣ )=asin(bx+c),则满足条件的有序实数组(a,b,c)的组数为 .
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【题目】有一块正方形EFGH,EH所在直线是一条小河,收获的蔬菜可送到F点或河边运走.于是,菜地分别为两个区域S1和S2 , 其中S1中的蔬菜运到河边较近,S2中的蔬菜运到F点较近,而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等,现建立平面直角坐标系,其中原点O为EF的中点,点F的坐标为(1,0),如图
(1)求菜地内的分界线C的方程;
(2)菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍,由此得到S1面积的经验值为 .设M是C上纵坐标为1的点,请计算以EH为一边,另一边过点M的矩形的面积,及五边形EOMGH的面积,并判断哪一个更接近于S1面积的经验值.
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【题目】已知直线(
)与
轴交于
点,动圆
与直线
相切,并且与圆
相外切,
(1)求动圆的圆心的轨迹
的方程;
(2)若过原点且倾斜角为的直线与曲线
交于
两点,问是否存在以
为直径的圆经过点
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知各项均不为零的数列{an},定义向量 ,
,n∈N* . 下列命题中真命题是( )
A.若?n∈N*总有 ∥
成立,则数列{an}是等差数列
B.若?n∈N*总有 ∥
成立,则数列{an}是等比数列
C.若?n∈N*总有 ⊥
成立,则数列{an}是等差数列
D.若?n∈N*总有 ⊥
成立,则数列{an}是等比数列
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