Question

19．如图，ADB为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q为线段OD的中点，|AB|=4，有一曲线C过Q点，有一动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变．
（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；
（Ⅱ）求曲线C与半圆ADB的公共弦的长，并求此公共弦所在的直线方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以AB，OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系，利用曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变可得曲线C为以O为中心，以A，B为焦点的椭圆，再求出对应的a，b，c即可；
（Ⅱ）求得半圆的方程，联立椭圆方程，求得交点，即可得到弦长及弦所在的直线方程．

解答 解：（Ⅰ）以AB，OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，
建立平面直角坐标系．
由于|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2$\sqrt{5}$＞|AB|=4，
∴曲线C为以O为中心，以A，B为焦点的椭圆，
设长半轴长为a，短半轴长b，半焦距为c
∴a=$\sqrt{5}$，c=2，b=1，
所以所求曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{5}$+y²=1；
（Ⅱ）半圆ADB的方程为x²+y²=4，
联立曲线C的方程$\frac{{x}^{2}}{5}$+y²=1，
解得x=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，y=$\frac{1}{2}$和x=-$\frac{\sqrt{15}}{2}$，y=$\frac{1}{2}$，
即交点为（$\frac{\sqrt{15}}{2}$，$\frac{1}{2}$），（$\frac{\sqrt{15}}{2}$，$\frac{1}{2}$），
则公共弦长为$\sqrt{15}$，
此公共弦所在的直线方程为y=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查直线和圆的方程的运用，同时考查椭圆的定义、方程的求法及运用，属于中档题．