Question

【题目】已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若对于区间[﹣2，2]上任意两个自变量的值x1 ， x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤c，求实数c的最小值；
（3）若过点M（2，m）（m≠2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f'（x）=3ax2+2bx﹣3．

根据题意，得 即 解得

所以f（x）=x3﹣3x

（2）解：令f'（x）=0，即3x2﹣3=0．得x=±1．

当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＞0，函数f（x）在此区间单调递增；

当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，函数f（x）在此区间单调递减

因为f（﹣1）=2，f（1）=﹣2，

所以当x∈[﹣2，2]时，f（x）max=2，f（x）min=﹣2．

则对于区间[﹣2，2]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|f（x）max﹣f（x）min|=4，所以c≥4．

所以c的最小值为4

（3）解：因为点M（2，m）（m≠2）不在曲线y=f（x）上，所以可设切点为（x0，y0）．

则y0=x03﹣3x0．

因为f'（x0）=3x02﹣3，所以切线的斜率为3x02﹣3．

则3x02﹣3= ，

即2x03﹣6x02+6+m=0．

因为过点M（2，m）（m≠2）可作曲线y=f（x）的三条切线，

所以方程2x03﹣6x02+6+m=0有三个不同的实数解．

所以函数g（x）=2x3﹣6x2+6+m有三个不同的零点．

则g'（x）=6x2﹣12x．令g'（x）=0，则x=0或x=2．

当x∈（﹣∞，0）时，g′（x）＞0，函数g（x）在此区间单调递增；当x∈（0，2）时，g′（x）＜0，函数g（x）在此区间单调递减；

所以，函数g（x）在x=0处取极大值，在x=2处取极小值，有方程与函数的关系知要满足题意必须满足：

，即 ，解得﹣6＜m＜2

【解析】（1）由题意，利用导函数的几何含义及切点的实质建立a，b的方程，然后求解即可；（2）由题意，对于定义域内任意自变量都使得|f（x1）﹣f（x2）|≤c，可以转化为求函数在定义域下的最值即可得解；（3）由题意，若过点M（2，m）（m≠2）可作曲线y=f（x）的三条切线，等价与函数在切点处导函数值等于切线的斜率这一方程有3解．
【考点精析】通过灵活运用函数的极值与导数，掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值即可以解答此题．