Question

13．设函数f（x）=|x-$\frac{9}{a}$|+|x+2a|（a≠0）
（1）证明：f（x）≥6$\sqrt{2}$；
（2）设a＜0，若f（4）＜9，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用绝对值三角不等式，基本不等式证得f（x）≥6$\sqrt{2}$．
（2）由题意可得|2a+4|＜5+$\frac{9}{a}$，分类讨论去掉绝对值，分别求得a的范围，综合可得结论．

解答 解：（1）证明：∵函数f（x）=|x-$\frac{9}{a}$|+|x+2a|≥|（x-$\frac{9}{a}$）-（x+2a）|=|$\frac{9}{a}$+2a|=|$\frac{9}{a}$|+|2a|≥2$\sqrt{\frac{9}{|a|}•2|a|}$=6$\sqrt{2}$，
当且仅当|$\frac{9}{a}$|=2|a|，即a=±$\frac{3\sqrt{2}}{2}$时，取等号，∴f（x）≥6$\sqrt{2}$成立．
（2）∵a＜0，若f（4）=4-$\frac{9}{a}$+|4+2a|＜9，则|2a+4|＜5+$\frac{9}{a}$．
当a≤-2时，-2a-4＜5+$\frac{9}{a}$，即a²+9a+9＜0，求得-3≤a≤$\frac{3}{2}$，综合可得-3≤a≤-2．
当-2＜a＜0 时，2a+4＜5+$\frac{9}{a}$，即2a²-a-9＜0，求得 $\frac{1-\sqrt{73}}{4}$＜a＜$\frac{1+\sqrt{73}}{4}$，综合可得$\frac{1-\sqrt{73}}{4}$＜a＜0．
综上可得，a的取值范围是[-3，-2]∪（$\frac{1-\sqrt{73}}{4}$，0）．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式，基本不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．