Question

14．设函数f（x）=$\frac{1}{x+1}$，点A₀表示坐标原点，点A_n（n，f（n））（n∈N^*），若向量a_n=$\overrightarrow{{A}_{0}{A}_{1}}$+$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$+…+$\overrightarrow{{A}_{n-1}{A}_{n}}$，θ_n是a_n与i的夹角（其中i=（1，0））．则tanθ₁+tanθ₂+tanθ₃等于（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 化简a_n=$\overrightarrow{{A}_{0}{A}_{1}}$+$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$+…+$\overrightarrow{{A}_{n-1}{A}_{n}}$=$\overrightarrow{{A}_{0}{A}_{n}}$，从而可由斜率公式求tanθ₁，tanθ₂，tanθ₃的值，从而解得．

解答 解：∵a_n=$\overrightarrow{{A}_{0}{A}_{1}}$+$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$+…+$\overrightarrow{{A}_{n-1}{A}_{n}}$=$\overrightarrow{{A}_{0}{A}_{n}}$，
∵点A_n（n，f（n））（n∈N^*），
∴点A₁（1，$\frac{1}{2}$），点A₂（2，$\frac{1}{3}$），点A₃（3，$\frac{1}{4}$）；
∵θ_n是a_n与i的夹角（其中i=（1，0）），
∴tanθ₁=$\frac{\frac{1}{2}}{1}$=$\frac{1}{2}$，
tanθ₂=$\frac{\frac{1}{3}}{2}$=$\frac{1}{6}$，
tanθ₃=$\frac{\frac{1}{4}}{3}$=$\frac{1}{12}$，
∴tanθ₁+tanθ₂+tanθ₃=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$=$\frac{3}{4}$，
故选：C．

点评 本题考查了平面向量与函数的应用，同时考查了斜率公式及斜率的定义应用，属于基础题．