Question

【题目】（1）已知函数在区间上单调递减，求实数的取值范围.

（2）已知函数，，讨论函数的单调性.

Answer 1

【答案】（1）；（2）当a=2时,g(x)在(0,+∞)单调递增；当1<a<2时,g(x)在(a-1,1)单调递减，在(0,a-1),(1,+∞)单调递增；当a>2时,g(x)在(1,a-1)单调递减，在(0,1),(a-1,+∞)单调递增.

【解析】

（1）由已知转化为导函数在区间上恒小于等于0，进而构建不等式，参变分离求出取值范围.

（2）由函数，其中a>1，知g (x)的定义域为(0， +∞o) ，，令g' (x) =0，得.由实数a的取值范围进行分类讨论，能够求出g(x)的单调区间.

（1）已知函数在区间上是单调递减，等价于导函数在区间上恒小于等于0，即在区间上恒成立则，

令，由反比例函数性质可知，其在上单调递减，则，即

故实数的取值范围为

（2）因为函数, 其中a>1,

所以g(x) 的定义域为(0,+∞)，且

令g'(x)=0,得

①若a-1=1,即a=2时,，故g(x)在(0,+∞)单调递增；

②若0<a-1<1，即1<a<2时，由g'(x)<0得，a-1<x<1；由g'(x)>0得，0<x<a-1，或x>1

故g(x)在(a-1,1)单调递减，在(0,a-1),(1,+∞)单调递增；

③若a-1>1，即a>2时，由g'(x)<0得,1<x<a-1；由g'(x)>0得，0<x<1或x>a-1.

故g(x)在(1,a-1)单调递减，在(0,1), (a-1,+∞)单调递增，

综上可得,当a=2时,g(x)在(0,+∞)单调递增；

当1<a<2时,g(x)在(a-1,1)单调递减，在(0,a-1),(1,+∞)单调递增；

当a>2时,g(x)在(1,a-1)单调递减，在(0,1),(a-1,+∞)单调递增.