Question

9．已知函数f（x）=ln（x+1）-2x-f′（0）x²+2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的减区间．

Answer 1

分析 （1）求函数的导数先求出f′（0）的值即可求出函数的解析式，
（2）求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系进行求解即可．

解答 解：（1）函数的导数$f（x）=\frac{1}{x+1}-2-2f'（0）x$，
令x=0，得f′（0）=1-2-2f′（0），
即f′（0）=-1，
∴f（x）=ln（x+1）-2x+x²+2．
（2）$f'（x）=\frac{1}{x+1}+2x-2=\frac{{2{x^2}-1}}{x+1}$，
由f'（x）＜0，得$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}＜x＜\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴f（x）的减区间为$（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$．

点评 本题主要考查函数解析式的求解，以及函数单调性的应用，求函数的导数，利用导数法是解决本题的关键．