Question

18．已知直线l：y=x+m与椭圆$C：\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$有公共点，求m的取值范围．

Answer 1

分析 直线l和椭圆C有公共点，反映在方程上，便是构成的方程组有解，可联立直线方程和椭圆方程消去y便可得到关于x的一元二次方程，方程有解，从而有判别式△≥0，这样即可解出m的取值范围．

解答 解：直线y=x+m代入椭圆方程消去y得：
3x²+4mx+2m²-8=0；
∵直线与椭圆有公共点；
∴上面方程有解；
∴△=16m²-12（2m²-8）≥0；
解得$-2\sqrt{3}≤m≤2\sqrt{3}$；
∴m的取值范围为$[-2\sqrt{3}，2\sqrt{3}]$．

点评 考查直线和椭圆有公共点的情况与直线方程和椭圆方程形成方程组解的关系，以及一元二次方程有解时判别式△的取值情况．