Question

已知函数（ 是自然对数的底数）的最小值为．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）已知且，试解关于的不等式 ；
（Ⅲ）已知且.若存在实数，使得对任意的，都有，试求的最大值．

Answer 1

（1）
（2）当时，不等式的解为；当时，不等式的解为
（3）3

试题分析：解：（Ⅰ）因为，所以，故，
因为函数的最小值为，所以．              3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，.
当时，， 5分
故不等式可化为：，
即，           6分
得，
所以，当时，不等式的解为；
当时，不等式的解为．          8分
（Ⅲ）∵当且时，，
∴.
∴原命题等价转化为:存在实数，使得不等式对任意恒成立.        10分
令.
∵，∴函数在为减函数.       11分
又∵，∴.          12分
∴要使得对，值恒存在，只须．     13分
∵，
且函数在为减函数，
∴满足条件的最大整数的值为3．   14分
点评：主要是考查了函数与不等式的综合运用，以及导数研究函数单调性的求解属于中档题。