Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD的中点．
（1）证明：PE⊥BC；
（2）若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA与PEH平面所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）以H为原点，HA，HB，HP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PE⊥BC．
（2）求出平面PEH的法向量和

PA

=(1，0，-1)，利用向量法能求出直线PA与PEH平面所成角的正弦值．

解答： （1）证明：以H为原点，HA，HB，HP分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，设HA=1，
则A（1，0，0），B（0，1，0），
设C（m，0，0），P（0，0，n），（m＜0，n＞0），
则D（0，m，0），E（

1

2

，

m

2

，0），
∴

PE

=（

1

2

，

m

2

，-n），

BC

=（m，-1，0），
∵

PE

•

BC

=

m

2

-

m

2

+0=0，
∴PE⊥BC．
（2）解：∵∠APB=∠ADB=60°，∴由已知条件得m=-

3

3

，n=1，
∴C（-

3

3

，0，0），D（0，-

3

3

，0），E（

1

2

，-

3

6

，0），P（0，0，1），
设

n

=（x，y，z）是平面PEH的法向量，
则

n • HE = 1 2 x- 3 6 y=0 n • HP =z=0

，取x=1，得

n

=（1，

3

，0），
∵

PA

=(1，0，-1)，
∴|cos＜

PA

，

n

＞|=|

1

2 •2

|=

2

4

．
∴直线PA与PEH平面所成角的正弦值为

2

4

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．