Question

如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；
（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE；
（Ⅲ）设平面BCE∩平面ACD=l，试问直线l是否和平面ABED平行，说明理由．

Answer 1

分析：（I）取CE中点P，连接FP，BP，根据三角形中位线性质，我们易得四边形ABPF为平行四边形，则AF∥BP，再由线面平行的判定定理可得AM∥平面BCE；
（Ⅱ）先利用线面垂直的判定定理证明AF⊥平面DCE，再利用面面垂直的判定定理证明平面BCE⊥平面CDE；
（Ⅲ）假设直线l和平面ABED平行，利用线面平行的性质，可得AD∥EB，与AD，EB相交矛盾，故可得结论．

解答：（I）证明：取CE中点P，连接FP，BP
∵F是CD的中点，
∴FP∥DE且FP=

1

2

DE
∵AB∥DE，AB=

1

2

DE
∴AB∥FP，AB=FP
∴四边形ABPF为平行四边形
∴AF∥BP  
∵AF?平面BCE，BP?平面BCE
∴AM∥平面BCE；
（Ⅱ）证明：∵△ACD是正三角形，∴AF⊥CD
∵AB⊥平面ACD，DE∥AB
∴DE⊥平面ACD，
∵AF?平面ACD，
∴DE⊥AF
∵CD∩DE=D
∴AF⊥平面DCE
∵BP∥AF，
∴BP⊥平面DCE
∵BP?平面BCE
∴平面BCE⊥平面CDE；
（Ⅲ）解：假设直线l和平面ABED平行
∵l?平面BCE，平面BCE∩平面ABED=EB
∴l∥EB
同理l∥AD
∴AD∥EB，与AD，EB相交矛盾
∴直线l和平面ABED不平行．

点评：本题考查线面平行的判定与性质，考查线面垂直、面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．