Question

【题目】销售甲种商品所得利润是万元，它与投入资金万元的关系有经验公式；销售乙种商品所得利润是万元，它与投入资金万元的关系有经验公式，其中，为常数．现将3万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售；若全部投入甲种商品，所得利润为万元；若全部投入乙种商品，所得利润为1万元，若将3万元资金中的万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为万元．

（1）求函数的解析式；

（2）怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使所得利润总和最大，并求最大值．

Answer 1

【答案】（1），；

（2）故对甲种商品投资2万元，对乙种商品投资为1万元，才能使所得利润总和最大，最大值为万元．

【解析】

（1）因为对甲种商品投资万元，所以对乙种商品投资为万元，由题意知：，代值计算即可．

（2）转化成一个基本不等式的形式，最后结合基本不等式的最值求法得最大值，从而解决问题．

解：（1）因为对甲种商品投资万元，所以对乙种商品投资为万元

由题意知：，

当时，，当时，，

则，解得，，

则，，

（2）由（1）可得

，当且仅当时取等号，

故对甲种商品投资2万元，所以对乙种商品投资为1万元，才能使所得利润总和最大，最大值为万元．