Question

17．若F₁，F₂是双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的两个焦点，P是双曲线上的点，且|PF₁|•|PF₂|=32，试求△F₁PF₂的面积．

Answer 1

分析 利用双曲线的方程求得|F₁F₂|和||PF₁|-|PF₂||，进而利用配方法求得|PF₁|²+|PF₂|²的值代入余弦定理求得cos∠F₁PF₂ 的值进而求得∠F₁PF₂．即可求△F₁PF₂的面积．

解答 解：根据双曲线的方程可知，a=3，b=4，c=5
则|F₁F₂|=2c=10，||PF₁|-|PF₂||=2a=2×3=6
∴|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|=36，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=100=|F₁F₂|²，
∴∠F₁PF₂=90°，
∴△F₁PF₂的面积为$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|=32×$\frac{1}{2}$=16．

点评 本题考查了双曲线的定义以及性质的运用，关键是利用性质正确得到|PF₁|、|PF₂|的位置关系，从而求面积．