Question

已知a≥0，若函数f（x）=

(x+a)2

x2+1

在[-1，1]上为增函数，则a的取值集合为

 

_．

Answer 1

分析：可以求出函数f（x）=

(x+a)2

x2+1

导数，令其大于等于0在[-1，1]上恒成立，依据情况作出判断即可

解答：解：由题意f′（x）=

2(x+a)(x2+1)-2x(x+a)2

(x2+1)2

=

2x-2a2x-2ax2+2a

(x2+1)2

∵a≥0，若函数f（x）=

(x+a)2

x2+1

在[-1，1]上为增函数，
∴2x-2a²x-2ax²+2a＞0在[-1，1]上恒成立
由于y=2x-2a²x-2ax²+2a是开口向下的二次函数
故有y（1）＞0，y（-1）＞0
∴

2-2a2-2a +2a＞0 -2+2a2-2a +2a＞0

即

2-2a2＞0 -2+2a2＞0

即a²=2，故a=1
a的取值集合为{1}
故答案为{1}

点评：本题考查函数的单调性与导数的关系，求解本题的关键是将函数为增函数的性质转化为不等式，再根据二次函数的性质转化为关于参数的不等式，判断出参数的值．本题考查了推理判断的能力，尤其是最后得到参数的值的判断，比较抽象，易错，学习时要注意积累这方面的经验．