【题目】已知函数.
(1)若曲线与直线相切,求实数的值;
(2)记,求在上的最大值;
(3)当时,试比较与的大小.
【答案】(1);(2)当时, ;当时, ;(3).
【解析】试题分析:(1)研究函数的切线主要是利用切点作为突破口求解;(2)通过讨论函数在定义域内的单调性确定最值,要注意对字母m的讨论;(3)比较两个函数的大小主要是转化为判断两个函数的差函数的符号,然后转化为研究差函数的单调性研究其最值.
试题解析:(1)设曲线与相切于点,
由,知,解得,
又可求得点为,所以代入,得.
(2)因为,所以.
①当,即时, ,此时在上单调递增,
所以;
②当即,当时, 单调递减,
当时, 单调递增, .
(i)当,即时, ;
(ii)当,即时, ;
③当,即时, ,此时在上单调递减,
所以.
综上,当时, ;
当时, .
(3)当时, ,
①当时,显然;
②当时, ,
记函数,
则,可知在上单调递增,又由知, 在上有唯一实根,且,则,即(*),
当时, 单调递减;当时, 单调递增,
所以,
结合(*)式,知,
所以,
则,即,所以.
综上, .
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【题目】下列四个命题中正确的有
①函数y= 的定义域是{x|x≠0};
②lg =lg(x﹣2)的解集为{3};
②31﹣x﹣2=0的解集为{x|x=1﹣log32};
④lg(x﹣1)<1的解集是{x|x<11}.
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【题目】已知函数f(x)=x﹣ .
(1)用函数单调性的定义证明:函数f(x)在区间(0,+∞)上为增函数;
(2)方程2tf(4t)﹣mf(2t)=0,当t∈[1,2]时,求实数m的取值范围.
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【题目】已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x﹣x2 .
(1)求x<0时f(x)的解析式;
(2)问是否存在正数a,b,当x∈[a,b]时,g(x)=f(x),且g(x)的值域为[ , ]?若存在,求出所有的a,b的值,若不存在,请说明理由.
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【题目】[选修 4-4]参数方程与极坐标系
在平面直角坐标系中,已知曲线: ,以平面直角坐标系的原点为极点, 轴正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系.已知直线 : .
(Ⅰ)试写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程;
(Ⅱ)在曲线上求一点,使点到直线的距离最大,并求出此最大值.
[选修 4-5]不等式选讲
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【题目】(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为参数).以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆C的极坐标方程;
(2)直线的极坐标方程是,射线与圆C的交点为O、P,与直线的交点为Q,求线段PQ的长.
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【题目】已知双曲线C:4x2﹣y2=4及直线l:y=kx﹣1
(1)求双曲线C的渐近线方程及离心率;
(2)直线l与双曲线C左右两支各有一个公共点,求实数k的取值范围.
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