Question

已知函数f（x）对一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．
（1）求f（0）的值        
（2）求f（x）的解析式
（3）若函数g（x）=（x+1）f（x）-a[f（x+1）-x]在区间（-1，2）上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）用赋值法来求函数值，因为f（1）=0，且要求f（0）的值，所以赋值时，要使等式中只含f（1），f（0），再解方程即可．
（2）因为f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1），要想求f（x），只需等式中y=0即可．
（3）借助导数判断，函数g（x）=（x+1）f（x）-a[f（x+1）-x]在区间（-1，2）上是减函数，也即它的导数在
（-1，2）上小于0恒成立，求导，再判断a在什么范围时，g'（x）≤0在（-1，2）上恒成立即可．

解答：解：（1）令x=1，y=0⇒f（1）-f（0）=2∴f（1）=0⇒f（0）=-2
（2）令y=0⇒f（x）=f（0）+x（x+1）=x²+x-2
（3）∵g（x）=（x+1）f（x）-a[f（x+1）-x]
=（x+1）（x²+x-2）-a[（x+1）²+（x+1）-2-x]
=x³+x²-2x+x²+x-2-ax²-2ax
=x³+（2-a）x²-（1+2a）x-2
∴g'（x）=3x²+2（2-a）x-（1+2a）
g（x）在（-1，2）上是减函数即 g'（x）≤0在（-1，2）上恒成立
即3x²+2（2-a）x-（1+2a）≤0在（-1，2）上恒成立  令
g（-1）≤0，即3+2a-4-1-2a≤0，恒成立；g（2）≤0，即12+8-4a-1-2a≤0，得a≥

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综上知，实数a的取值范围a≥

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点评：本题考查了抽象函数函数值，解析式，以及单调性的判断，因为题目较抽象，做题时要细心．