Question

在△ABC中，已知A（3，-1），∠B的内角平分线BD所在的直线方程是x-3y+6=0，AB边上的中线CE所在的直线方程是x+y-8=0求：
（1）点B的坐标；      
（2）BC边所在直线的方程．

Answer 1

分析：（1）设出B的坐标，利用垂直斜率乘积为-1，中点坐标在直线上，联立解方程组即可得到点B的坐标．
（2）法一：设出点A的对称点的坐标，利用垂直故选以及平分关系列出方程组，求出A′，利用两点式方程求出直线方程即可．
法二：利用到角公式求出BC的斜率，利用点斜式方程，即可得出直线方程．

解答：解：（1）设B（a，b）则AB中点坐标为(

a+3

2

，

b-1

2

)，（2分）
且该中点在直线CE上，又点B在直线BD上，
所以

a+3 2 + b-1 2 -8=0 a-3b+6=0

（2分）  
  ⇒

a=9 b=5

，∴B（9，5）（2分）
（2）法一：设点A关于BD：x=3y+6=0的对称点为A′（a，b）则

a+3 2 -3 b-1 2 +6=0 1 3 • b+1 a-3 =-1

，(2分)，
⇒

a= 3 5 b= 31 5

⇒A/(

3

5

，

31

5

)，(2分)
又A′在BC上，且B（9，5）所以 由两点式得BC边方程为x+7y-44=0．（2分）
法二：由BD是角B的内角分线，所以，AB到BD的角等于BD到BC的角．
而KAB=1，KBD=

1

3

所以由到角公式有

1 3 -1

1+ 1 3

=

KBC- 1 3

1+ 1 3 KBC

（2分）
⇒KBC=-

1

7

（2分） 而B（9，5）
所以点斜式得直线方程：x+7y-44=0（2分）

点评：考查学生掌握两直线垂直时满足斜率乘积为-1的条件，会求两直线的交点坐标，以及会根据斜率和一点坐标写出直线的一般式方程．