Question

已知函数f（x）=

-2a+1

2x+2a

，
（1）判断函数f（x）的单调性并证明；
（2）若f（x）＞-2^x在x≥a上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）任取x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，根据指数函数的图象和性质，可判断出f（x₁）-f（x₂）的符号，进而判断出f（x₁）与f（x₂）的大小，进而根据函数单调性的定义，可判断出函数f（x）的单调性
（2）若f（x）＞-2^x在x≥a上恒成立，即（2^x）²+2^a•2^x-2•2^a≥0，令t=2^x，构造函数h（t）=t²+2^a•t-2•2^a，分析函数的单调性进而求出函数的最值，进而可求实数a的取值范围．

解答：解：（1）函数f（x）在R上是增函数．…..（2分）
证明：任取x₁，x₂∈R且x₁＜x₂
则2x1＜2x2
∴f（x₁）-f（x₂）=

-2a+1

2x1+2a

-

-2a+1

2x2+2a

=

2a+1(2x1-2x2)

(2x1+2a)(2x2+2a)

＜0
所以f（x₁）＜f（x₂）…..（4分）
所以函数f（x）在R上是增函数．…..（6分）
（2）因为

-2a+1

2x+2a

≥-2x
所以（2^x）²+2^a•2^x-2•2^a≥0，…（8分）
令t=2^x，则t≥2^a，
h（t）=t²+2^a•t-2•2^a≥0，
又h（t）在t∈[2^a，+∞）上是增函数，…．（10分）
所以(h(t))min=h(2a)=2(22a-2a)≥0 ， 2a≥1，
所以a≥0…．．（14分）

点评：本题是指数函数的综合应用，熟练掌握函数单调性的判断，证明，及应用是解答本题的关键，本题难度中档．