Question

2012年感动中国十大人物杨善洲的事迹传遍神州大地，感动了千千万万个中华儿女．某退休干部所在家乡有荒山2200亩，他决定从2012年开始每年春季在荒山植树造林，第一年植树100亩，以后每一年比上一年多植树50亩．
（1）若所植树全部都成活，则到哪一年他可将荒山全部绿化？
（2）若每亩所植树苗的木材量为2立方米，每年树木木材量的自然增长率为20%，那么全部绿化后的那一年年底，该山木材总量为S，求S的表达式；
（3）若1.2⁸≈4.3，计算S （精确到1立方米）．

Answer 1

分析：（1）设植树n年后可将荒山全部绿化，记2012年初植树量为a₁，依题意知数列{a_n}是首项a₁=100，公差d=50的等差数列，利用等差数列的求和公式得出关于n的方程，即可求出答案；
（2）由题意得2012年初木材量为2a₁m³，到2019年底木材量增加为2a₁（1.2）⁸m³，2013年初木材量为2a₂m³，到2019年底木材量增加为2a₂（1.2）⁷m³，…2019年初木材量为2a₈m³，到2019年底木材量增加为2a₈×1.2m³．结合错位相减法求出到2019年底木材总量即可；
（3）直接把给出的1.2⁸≈4.3代入（2）中求出的S计算．

解答：解：（1）设植树n年后可将荒山全部绿化，记2012年初植树量为a₁，
依题意知数列{a_n}是首项a₁=100，公差d=50的等差数列，
则100n+

50n(n-1)

2

=2200，即n²+3n-88=0⇒（n+11）（n-8）=0
∵n∈N^*，∴n=8
∴到2019年初植树后可以将荒山全部绿化．
（2）2012年初木材量为2a₁m³，到2019年底木材量增加为2a₁（1.2）⁸m³，
2013年初木材量为2a₂m³，到2019年底木材量增加为2a₂（1.2）⁷m³，
…
2019年初木材量为2a₈m³，到2019年底木材量增加为2a₈×1.2m³．
则到2019年底木材总量S=2a₁×1.2⁸+2a₂×1.2⁷+2a₃×1.2⁶+…+2a₈×1.2S=900×1.2+800×1.2²+…+400×1.2⁶+300×1.2⁷+200×1.2⁸----①
1.2S=900×1.2²+800×1.2³+…+400×1.2⁷+300×1.2⁸+200×1.2⁹----②
②-①得0.2S=200×1.2⁹+100×（1.2²+1.2³+…+1.2⁸）-900×1.2
=700×1.2⁹-500×1.2²-900×1.2
=840×1.2⁸-1800．
∴S=4200×1.2⁸-9000；
（3）S=4200×1.2⁸-9000
≈4200×4.3-9000=9060m²
答：到全部绿化后的那一年年底，该山木材总量为9060m²；

点评：本题主要考查数列的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，是中档题．