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    对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现：“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，解答问题：若函数g（x）=
    1
    3
    x3-
    1
    2
    x2+3x-
    5
    12
    +
    1
    x-
    1
    2
    ，则g(
    1
    2011
    )+g(
    2
    2011
    )+g(
    3
    2011
    )+g(
    4
    2011
    )+…+g(
    2010
    2011
    )    的值是（　　）
    分析：构造h（x）=
    1
    3
    x3-
    1
    2
    x2+3x-
    5
    12
    ，m（x）=
    1
    x-
    1
    2
    ，则g（x）=h（x）+m（x），分别求得对称中心，利用g（x）+g（1-x）=h（x）+h（1-x）+m（x）+m（1-x）=2，可得结论．
    解答：解：由题意，令h（x）=
    1
    3
    x3-
    1
    2
    x2+3x-
    5
    12
    ，m（x）=
    1
    x-
    1
    2

    则h′（x）=x2-x+3，∴h″（x）=2x-1，
    令h″（x）=0，可得x=
    1
    2

    ∴h（
    1
    2
    ）=1，即h（x）的对称中心为（
    1
    2
    ，1），
    ∴h（x）+h（1-x）=2
    ∵m（x）=
    1
    x-
    1
    2
    的对称中心为（
    1
    2
    ，0）
    ∴m（x）+m（1-x）=0
    ∵g（x）=h（x）+m（x）
    ∴g（x）+g（1-x）=h（x）+h（1-x）+m（x）+m（1-x）=2
    ∴g(
    1
    2011
    )+g(
    2
    2011
    )+g(
    3
    2011
    )+g(
    4
    2011
    )+…+g(
    2010
    2011
    )    =2010
    故选A．
    点评：本小题考查新定义，考查函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查计算能力，属于中档题．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）．
    定义：（1）设f″（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”；
    定义：（2）设x0为常数，若定义在R上的函数y=f（x）对于定义域内的一切实数x，都有f（x0+x）+f（x0-x）=2f（x0）成立，则函数y=f（x）的图象关于点（x0，f（x0））对称．
    己知f（x）=x3-3x2+2x+2，请回答下列问题：
    （1）求函数f（x）的“拐点”A的坐标
     
    ；
    （2）检验函数f（x）的图象是否关于“拐点”A对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论
     
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•昌平区二模）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是函数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数f(x)=
    1
    3
    x3-
    1
    2
    x2+3x-
    5
    12
    ，请你根据上面探究结果，解答以下问题
    （1）函数f（x）=
    1
    3
    x3-
    1
    2
    x2+3x-
    5
    12
    的对称中心为
    （
    1
    2
    ，1）
    （
    1
    2
    ，1）
    ；
    （2）计算f(
    1
    2013
    )+f(
    2
    2013
    )+f(
    3
    2013
    )    +…+f（
    2012
    2013
    ）=
    2012
    2012
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•房山区二模）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心．若f(x)=
    1
    3
    x3-
    1
    2
    x2+
    1
    6
    x+1    ，则该函数的对称中心为
    (
    1
    2
    ，1)
    (
    1
    2
    ，1)
    ，计算f(
    1
    2013
    )+f(
    2
    2013
    )+f(
    3
    2013
    )+…+f(
    2012
    2013
    )    =
    2012
    2012
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f''（x）是函数y=f（x）的导数f′（x）的导数，若方程f''（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心”，且‘拐点’就是对称中心．请你将这一发现作为条件．
    （1）．函数f（x）=x3-3x2+3x的对称中心为
    （1，2）
    （1，2）
    ．
    （2）．若函数g(x)=
    1
    3
    x3-
    1
    2
    x2+3x-
    5
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    +
    1
    x-
    1
    2
    ，则g(
    1
    2013
    )+g(
    2
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    )+g(
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    )+…+g(
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    2013
    )    =
    2012
    2012
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•安庆三模）对于三次函数f（x）-ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设ft（x）是函数y=f（x）的导数，ftt（x）是函数ft的导数，若方程ftt（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个一元三次函数都有“拐点”；且该“拐点”也为该函数的对称中心．若f（x）=x3-
    3
    2
    x2+
    1
    2
    x+1，则f（
    1
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    ）+f（
    2
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    ）+…+f（
    2013
    2014
    ）=（　　）

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