Question

设函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），且在x=1处的切线垂直于y轴．
（Ⅰ）用a分别表示b和c；
（Ⅱ）当bc取得最大值时，写出y=f（x）的解析式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，g（x）满足

4

3

f(x)-6=（x-2）g（x）（x＞2），求g（x）的最大值及相应x值．

Answer 1

分析：（1）由f（0）=2a+3，以及f'（1）=0即得结论；
（2）配方成关于a的二次函数再求最大值，从而求出a，b，c；
（3）求出g（x）的表达式，再用变量分离，将分子常数化，运用基本不等式求最大值．

解答：解：（1）由已知得f（0）=2a+3，所以c=2a+3-------2分
又因为f（x）在x=1处的切线垂直于y轴，即切线的斜率为0，因为f'（x）=2ax+b
所以f'（1）=0即2a+b=0，所以b=-2a---------4分
（2）bc=-2a（2a+3）=-2(a+

3

4

)2+

9

4

-------5分
所以当a=-

3

4

时，bc取得最大值，此时b=

3

2

，c=

3

2

∴f(x)=-

3

4

x2+

3

2

x+

3

2

---------------7分
（3）∵f(x)=-

3

4

x2+

3

2

x+

3

2

∴

4

3

f(x)-6=-x2+2x-4
又x＞2，∴g(x)=

-x2+2x-4

x-2

=-x-

4

x-2

=-(x-2)-

4

x-2

-2------------9分
∵x＞2∴x-2＞0
∴x-2+

4

x-2

≥4，∴-(x-2)-

4

x-2

≤-4
当且仅当x-2=

4

x-2

即x=4时等号成立．-----11分
∴g（x）≤-6
即g（x）的最大值为-6．

点评：本题考查了导数的基本运算和二次函数的最值以及用基本不等式求分式函数的最值，当然也可运用导数求分式函数的最值，同学可试试，比较一下繁简．