Question

如图，在六面体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A₁B₁C₁D₁是边长为1的正方形，DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，DD₁⊥平面ABCD，DD₁＝2.

（Ⅰ）求证：A₁C₁与AC共面，B₁D₁与BD共面；
（Ⅱ）求证：平面A₁ACC₁⊥平面B₁BDD₁；
（Ⅲ）求二面角A－BB1－C的大小（用反三角函数值表示）.

Answer 1

解法1（向量法）：


以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图，
则有．
（Ⅰ）证明：
．
．
与平行，与平行，
于是与共面，与共面．
（Ⅱ）证明：，
，
，．
与是平面内的两条相交直线．
平面．
又平面过．
平面平面．
（Ⅲ）解：．
设为平面的法向量，
，．
于是，取，则，．
设为平面的法向量，
，．
于是，取，则，．
．
二面角的大小为．
解法2（综合法）：
（Ⅰ）证明：平面，平面．
，，平面平面．
于是，．
设分别为的中点，连结，
有．
，
于是．
由，得，
故，与共面．
过点作平面于点，
则，连结，
于是，，．
，．
，．
所以点在上，故与共面．
（Ⅱ）证明：平面，，
又（正方形的对角线互相垂直），
与是平面内的两条相交直线，
平面．
又平面过，平面平面．
（Ⅲ）解：直线是直线在平面上的射影，，
根据三垂线定理，有．
过点在平面内作于，连结，
则平面，
于是，
所以，是二面角的一个平面角．
根据勾股定理，有．
，有，，，．
，，
二面角的大小为．