Question

18．已知f（x）=log₄（a^x-2^x•k）（a＞0，a≠1，k为常数），求f（x）的定义域．

Answer 1

分析 由真数大于零得a^x-2^x•k＞0，然后根据k的取值范围进行讨论

解答 解：由f（x）=log₄（a^x-2^x•k）有意义得：a^x-k•2^x＞0
（1）当k≤0时，a^x-k•2^x＞0恒成立；
故函数f（x）=lg（a^x-k•2^x）（a＞0且a≠2）的定义域为R；
（2）当k＞0时，化简a^x-k•2^x＞0得，k＜$\frac{{a}^{x}}{{2}^{x}}$=（$\frac{a}{2}$）^x
①若0＜$\frac{a}{2}$＜1，即0＜a＜2；则x＜log${\;}_{\frac{a}{2}}$k；
②若$\frac{a}{2}$＞1，即a＞2；则x＞log${\;}_{\frac{a}{2}}$K，
综上所述：当k≤0时，f（x）的定义域为R；
当k＞0，0＜a＜2，且a≠1时，f（x）的定义域为（-∞，log${\;}_{\frac{a}{2}}$k）；
当k＞0，a＞2时，f（x）的定义域为（log${\;}_{\frac{a}{2}}$K，+∞）．

点评 本题考查了函数的定义域的求法，同时考查了分类讨论的思想应用，属于基础题．