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已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),g(x)=xlnx.
(1)若函数f(x)<0的解集为(1,3),且f(x)的最小值为-1,求函数f(x)的解析式;
(2)当a=1,c=2时,若函数φ(x)=f(x)+g(x)有零点,求实数b的最大值.
考点:利用导数研究函数的极值
专题:计算题,导数的综合应用
分析:(1)由函数f(x)<0的解集为(1,3)可知,1,3是方程ax2+bx+c=0的根,则f(x)=a(x-1)(x-3),又由f(x)的最小值为-1可知a>0且在对称轴x=2上取得最小值,从而解出;
(2)φ(x)=f(x)+g(x)=x2+bx+2+xlnx,(x>0),函数φ(x)=f(x)+g(x)有零点可化为方程x2+bx+2+xlnx=0有解,则b=
-x2-xlnx-2
x
=-x-lnx-
2
x
,求这个函数的最大值即可.
解答: 解:(1)∵函数f(x)<0的解集为(1,3),
∴1,3是方程ax2+bx+c=0的根,
∴f(x)=a(x-1)(x-3),
又∵f(x)的最小值为-1,
∴f(2)=-a=-1,
解得,a=1,
则f(x)=(x-1)(x-3)=x2-4x+3;
(2)由题意,
φ(x)=f(x)+g(x)=x2+bx+2+xlnx,(x>0),
则函数φ(x)=f(x)+g(x)有零点可化为
方程x2+bx+2+xlnx=0有解,
则b=
-x2-xlnx-2
x
=-x-lnx-
2
x

则b′=-1-
1
x
+
2
x2
=
-x2-x+2
x2
=
-(x+2)(x-1)
x2

则当x∈(0,1)时,b′>0,b=-x-lnx-
2
x
在(0,1)上是增函数,
当x∈(1,+∞)时,b′<0,b=-x-lnx-
2
x
在(1,+∞)上是减函数,
则bmax=-x-lnx-
2
x
|x=1=-1-0-2=-3.
即实数b的最大值为-3.
点评:本题考查了导数的综合应用,同时考查了二次函数的解法与二次函数的特征及方程与函数的转化,属于中档题.
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A、an,2=
n2-n
2
B、an,2=
n2+n-2
2
C、an,2=
n2+n-4
2
D、an,2=
n2-n+2
2

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2
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A、
B、
C、
D、

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