Question

8、函数f（x）=x²-2ax-3在区间[1，2]上存在反函数的充分必要条件是（　　）

A、a∈（-∞，1]

B、a∈[2，+∞）

C、α∈[1，2]

D、a∈（-∞，1]∪[2，+∞）

Answer 1

分析：本题考查反函数的概念、充要条件的概念、二次函数的单调性等有关知识．
根据反函数的定义可知，要存在反函数，则原函数在此区间上是单调的，由此根据二次函数的对称抽和闭区间的相对关系即可作出判断．

解答：解析：∵f（x）=x²-2ax-3的对称轴为x=a，
∴y=f（x）在[1，2]上存在反函数的充要条件为[1，2]⊆（-∞，a]或[1，2]⊆[a，+∞），
即a≥2或a≤1．
答案：D

点评：本题虽然小巧，用到的知识确实丰富的，具有综合性特点，涉及了反函数、充要条件、二次函数等三个方面的知识，是这些内容的有机融合，是一个极具考查力的小题；
解题中易错点有反函数存在的条件不清晰、充要条件的判定不准确、二次函数的对称轴与其单调性的关联的确定．