Question

已知函数f（x）是函数y=-1（x∈R）的反函数，函数g（x）的图象与函数y=的图象关于直线y=x-1成轴对称图形，记F（x）=f（x）+g（x）．
（1）求F（x）的解析式及定义域．
（2）试问在函数F（x）的图象上是否存在这样两个不同点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直？若存在，求出A、B两点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）由y=-1（x∈R），得10^x=，
x=lg．
∴f（x）=lg（-1＜x＜1）．
设P（x，y）是g（x）图象上的任意一点，
则P关于直线y=x-1的对称点P′的坐标为（1+y，x-1）．
由题设知点P′（1+y，x-1）在函数y=的图象上，
∴x-1=．
∴y=，即g（x）=（x≠-2）．
∴F（x）=f（x）+g（x）=lg+，其定义域为{x|-1＜x＜1}．
（2）∵f（x）=lg=lg（-1+）（-1＜x＜1）是减函数，
g（x）=（-1＜x＜1）也是减函数，
∴F（x）在（-1，1）上是减函数．
故不存在这样两个不同点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直．
分析：（1）由题设条件知f（x）=lg（-1＜x＜1）．设P（x，y）是g（x）图象上的任意一点，则P关于直线y=x-1的对称点P′的坐标为（1+y，x-1）．由此可知g（x）=（x≠-2）．从而得到F（x）的解析式及定义域．
（2）由f（x）和g（x）都是减函数，知F（x）在（-1，1）上是减函数．由此可知不存在这样两个不同点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直．
点评：本题是一道综合题，解决第（2）小题常用的方法是反证法，但本题巧用单调性法使问题变得简单明了