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【题目】如图,在平面直角坐标系中,椭圆上的动点到一个焦点的最远距离与最近距离分别是的左顶点为轴平行的直线与椭圆交于两点,过两点且分别与直线垂直的直线相交于点.

1)求椭圆的标准方程;

2)证明点在一条定直线上运动,并求出该直线的方程;

3)求面积的最大值.

【答案】1;(2)证明见解析,;(3.

【解析】

1)根据椭圆的性质可以由椭圆上的动点到一个焦点的最远距离与最近距离分别是得到两个方程,解方程即可求出椭圆的标准方程;

2)设,显然直线的斜率都存在,设为,求出它们的表达式,求出直线的方程,消去,最后可以证明点在一条定直线上运动;

3)由(2)得点的纵坐标,求出的表达式,再利用均值不等式求出面积的最大值.

1)因为椭圆上的动点到一个焦点的最远距离与最近距离分别是,所以有

的标准方程为.

2)设,显然直线的斜率都存在,设为,则,所以直线的方程为:,消去,化简得,故点在定直线上运动.

3)由(2)得点的纵坐标为

,所以,则

所以点到直线的距离

代入

所以面积

,当且仅当,即时等号成立,故时,面积的最大值为.

练习册系列答案
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