A. | ①③ | B. | ①④ | C. | ②③ | D. | ②④ |
分析 由已知中函数的解析式,利用导数法,分析函数的单调性和凸凹性,进而逐一分析四个结论的真假,可得答案.
解答 解:∵f(x)=$\frac{lnx}{x}$,
∴f′(x)=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$,
令g(x)=1-lnx,则g′(x)=$-\frac{1}{x}$,
当x>0时,g′(x)<0,则f′(x)为减函数,
当x∈(0,e)时,f′(x)>0,此时f(x)为凸函数,且为增函数;
当x∈(e,+∞)时,f′(x)<0,此时f(x)为凸函数,且为减函数;
故?x1,x2∈R+,$f(\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2})<\frac{{f({x_1})+f({x_2})}}{2}$,即②正确,①错误;
?x∈R+,?d∈R+,f′(x)>$\frac{{f({x+d})-f(x)}}{d}$,?x∈R+,?d∈R+,f′(x)<$\frac{{f({x+d})-f(x)}}{d}$,故③错误,④正确;
故真命题是②④,
故选:D.
点评 本题以命题的真假判断为载体考查了函数的单调性和凸凹性,难度中档.
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | [1,4] | B. | [0,$\frac{4}{3}$] | C. | [0,$\frac{1}{2}$] | D. | (-∞,0]∪($\frac{4}{3}$,+∞] |
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