Question

11．已知函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$，有下列四个命题：
①?x₁，x₂∈R⁺，$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）＞\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$；
②?x₁，x₂∈R⁺，$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）＜\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$；
③?x∈R⁺，?d∈R⁺，f′（x）＜$\frac{{f（{x+d}）-f（x）}}{d}$；
④?x∈R⁺，?d∈R⁺，f′（x）＞$\frac{{f（{x+d}）-f（x）}}{d}$．
其中的真命题是（　　）

• A． ①③
• B． ①④
• C． ②③
• D． ②④

Answer 1

分析 由已知中函数的解析式，利用导数法，分析函数的单调性和凸凹性，进而逐一分析四个结论的真假，可得答案．

解答 解：∵f（x）=$\frac{lnx}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
令g（x）=1-lnx，则g′（x）=$-\frac{1}{x}$，
当x＞0时，g′（x）＜0，则f′（x）为减函数，
当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，此时f（x）为凸函数，且为增函数；
当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，此时f（x）为凸函数，且为减函数；
故?x₁，x₂∈R⁺，$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）＜\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$，即②正确，①错误；
?x∈R⁺，?d∈R⁺，f′（x）＞$\frac{{f（{x+d}）-f（x）}}{d}$，?x∈R⁺，?d∈R⁺，f′（x）＜$\frac{{f（{x+d}）-f（x）}}{d}$，故③错误，④正确；
故真命题是②④，
故选：D．

点评 本题以命题的真假判断为载体考查了函数的单调性和凸凹性，难度中档．