Question

11．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，AD=2BC=2CD．
（1）在线段AD上确定一点M，使得平面PBM⊥平面PAD，并说明理由；
（2）若二面角P-CD-A的大小为45°，求二面角P-CD-A的余弦值．

Answer 1

分析 （1）如图，当点M为AD的中点时，平面PBM⊥平面PAD，只需证明BM⊥平面PAD即可．
（2）分别以AD，AP所在的直线为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，其中x轴∥BM，易得CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD，PA⊥AD，所以∠PDA是二面角P-CD-A的平面角，大小为45°，所以PA=AD，设BC=CD=1，则AD=PA=2，所以P（0，0，1），B（-1，1，0），C（-1，2，0），利用法向量求解即可，

解答 解：（1）如图，当点M为AD的中点时，平面PBM⊥平面PAD，（1分）
理由如下：
因为AD∥BC，AD=2BC，M为AD的中点，
所以MD∥BC，MD=BC，所以四边形BCDM为平行四边形，所以BM∥CD，
因为AD⊥CD，所以BM⊥AD，
因为PA⊥平面ABCD，BM?平面ABCD，所以PA⊥BM，又因为AD∩PA=A，
所以BM⊥平面PAD，因为BM?平面PBM，所以平面PBM⊥平面PAD，
所点点M为AD的中点时，平面PBM⊥平面PAD．（5分）
（2）分别以AD，AP所在的直线为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
其中x轴∥BM，易得CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD，PA⊥AD，
所以∠PDA是二面角P-CD-A的平面角，大小为45°，所以PA=AD，（7分）
设BC=CD=1，则AD=PA=2，
所以P（0，0，1），B（-1，1，0），C（-1，2，0），
所以$\overrightarrow{PB}=（-1，1，-2），\overrightarrow{BC}=（0，1，0）$，（8分）
设平面PBC的法向量为$\overrightarrow{n_1}=（x，y，z）$，则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{PB}=0\\ \overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{BC}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}-x+y-2z=0\\ y=0\end{array}\right.$，
令x=2，则y=0，z=-1，所以$\overrightarrow{n_1}=（2，0，-1）$，（10分）
因为PA⊥平面ABCD，所以$\overrightarrow{n_2}=（0，0，1）$是平面BCA的一个法向量，
设二面角P-CD-A的大小为θ，由图可知θ为锐角，
则$cosθ=\frac{{|{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}|}}{{|{\overrightarrow{n_1}}|•|{\overrightarrow{n_2}}|}}=\frac{1}{{\sqrt{5}×1}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．（12分）

点评 本题考查了空间动点问题，向量法求解二面角，属于中档题．