Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=2

2

，E，F分别是BC，AA₁的中点．
求（1）异面直线EF和A₁B所成的角．
（2）三棱锥A-EFC的体积．

Answer 1

分析：（1）先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点F，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可；
（2）根据三棱锥的体积公式直接求解即可．

解答：解：（1）取AB的中点D，连DE、DF，则DF∥A₁B，
∴∠DFE（或其补角）即为所求．
由题意易知，DF=

3

，DE=1，AE=

2

由DE⊥AB、DE⊥AA₁得DE⊥平面ABB₁A₁
∴DE⊥DF，即△EDF为直角三角形，
∴tan∠DFE=

DE

DF

=

1

3

=

3

3

，∴∠DFE=30°
即异面直线EF和A₁B所成的角为30°．
（2）V_A-EFC=V_F-AEC-=

1

3

•S△AEC•FA=

1

3

•

1

2

•

2

•

2

•

2

=

2

3

．

点评：本小题主要考查异面直线所成的角，以及体积的计算，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．