Question

8．已知△ABC的顶点B（-1，-3），AB边上的高CE所在直线的方程为x-3y-1=0，BC边上中线AD所在直线的方程为8x+9y-3=0．求：
（1）点A的坐标；          
（2）直线AC的方程．

Answer 1

分析 （1）根据垂直关系算出直线CE的斜率，利用点斜式给出直线AB方程并整理，得AB方程为3x+y+6=0．由AD方程与AB方程联解，可得A（-3，3）；
（2）结合中点坐标公式解方程组算出C（4，1）．最后用直线方程的两点式列式，整理即得直线AC的方程．

解答 解：（1）∵CE⊥AB，且直线CE的斜率为$\frac{1}{3}$，∴直线AB的斜率为-3，
∴直线AB的方程为y+3=-3（x+1），即3x+y+6=0…（3分）
由$\left\{\begin{array}{l}{3x+y+6=0}\\{8x+9y-3=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=3}\end{array}\right.$，∴A（-3，3）…（7分）
（2）设D（a，b），可得C（2a+1，2b+3）
∴$\left\{\begin{array}{l}{8a+9b-3=0}\\{2a+1-3（2b+3）-1=0}\end{array}\right.$，解之得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{2}}\\{b=-1}\end{array}\right.$
因此D（$\frac{3}{2}$，-1），从而可得C（4，1）…（12分）
∴直线AC的方程为：$\frac{y-3}{1-3}=\frac{x+3}{4+3}$，
化简整理，得2x+7y-15=0，即为直线AC的方程…（14分）

点评 本题给出三角形的中线和高所在直线方程，求边AC所在直线的方程．着重考查了直线的基本量与基本形式、直线的位置关系和中点坐标公式等知识，属于中档题．