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【题目】对于复数为虚数单位),定义,给出下列命题:①对任何复数z,都有,等号成立的充要条件是;②:③若,则:④对任何复数,不等式恒成立,其中真命题的个数是(

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

中,当z0时,‖z‖=0;反之,当‖z‖=0时,z0;在中,za+biabi,从而‖z‖=‖‖=|a|+|b|;在中,当z12+3iz23+2i时,不成立;由绝对值的性质得到‖z1z3‖≤‖z1z2+z2z3‖恒成立.

由复数za+biabRi为虚数单位),定义‖z‖=|a|+|b|,知:

中,对任何复数,都有‖z‖≥0

z0时,‖z‖=0;反之,当‖z‖=0时,z0

∴等号成立的充要条件是z0,故成立;

中,∵za+biabi,∴‖z‖=‖‖=|a|+|b|,故成立;

中,当z12+3iz23+2i时,‖z1‖=‖z2‖,但z1≠±z2,故错误;

对任何复数z1z2z3

z1a1+b1iz2a2+b2iz3a3+b3i

则‖z1z3‖=|a1a3|+|b1b3|

z1z2+z2z3‖=|a1a2|+|a2a3|+|b1b2|+|b2b3|

|a1a3||a1a2|+|a2a3|

|b1b3||b1b2|+|b2b3|

∴‖z1z3‖≤‖z1z2+z2z3‖恒成立.故成立.

故选:C

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