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    17．（1）已知关于x的二次函数f（x）=ax2-4bx+1．设集合P={1，2，3}和Q={-1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；
    （2）在区间[1，5]和[2，4]上分别取一个数，记为a，b，求方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1表示焦点在x轴上且离心率小于$\frac{\sqrt{3}}{2}$的椭圆的概率．

    分析 （1）利用列举法确定基本事件，即可求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；
    （2）方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1表示焦点在x轴上且离心率小于$\frac{\sqrt{3}}{2}$的椭圆，故$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}＞{b}^{2}}\\{\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}＜\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，化简得$\left\{\begin{array}{l}{a＞b}\\{a＜2b}\end{array}\right.$，又a∈[1，5]，b∈[2，4]，画出满足不等式组的平面区域，利用面积比，即可求方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1表示焦点在x轴上且离心率小于$\frac{\sqrt{3}}{2}$的椭圆的概率．

    解答 解：（1）∵函数f（x）=ax2-4bx+1的图象的对称轴为直线x=$\frac{2b}{a}$，要使f（x）=ax2-4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，当且仅当a＞0且$\frac{2b}{a}$≤1，即2b≤a．…（2分）
    若a=1，则b=-1；
    若a=2，则b=-1或1；
    若a=3，则b=-1或1．
    ∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5．…（4分）
    而满足条件的数对（a，b）共有3×5=15个
    ∴所求事件的概率为$\frac{5}{15}$=$\frac{1}{3}$．…（6分）
    （2）方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1表示焦点在x轴上且离心率小于$\frac{\sqrt{3}}{2}$的椭圆，故$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}＞{b}^{2}}\\{\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}＜\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$…（8分）
    化简得$\left\{\begin{array}{l}{a＞b}\\{a＜2b}\end{array}\right.$
    又a∈[1，5]，b∈[2，4]，画出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示，
    …（10分）
    阴影部分的面积为$\frac{15}{4}$，故所求的概率P=$\frac{15}{32}$．…（12分）

    点评 本题考查概率的计算，考查学生的计算能力，区分两种类型是关键．

    练习册系列答案
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    （1）证明f（x）在区间（0，+∞）为单调递增函数；
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    7．设定义R上在函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x}，x＜0}\\{a{x}^{3}+（b-4a）{x}^{2}-（4b+m）x+n，0≤x≤4}\\{a（lo{g}_{4}x-1），x＞4}\end{array}\right.$（a，b，m，n为常数，且a≠0）的图象不间断．
    （1）求m，n的值；
    （2）设a，b互为相反数，且f（x）是R上的单调函数，求a的取值范围；
    （3）若a=1，b∈R，试讨论函数g（x）=f（x）+b的零点的个数，并说明理由．

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