Question

已知{a_n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S_n，等比数列{b_n}的前n项和为T_n，S₄=2S₂+4，b2=

1

9

，T2=

4

9

（1）求公差d的值；
（2）若对任意的n∈N^*，都有S_n≥S₈成立，求a₁的取值范围
（3）若a1=

1

2

，判别方程S_n+T_n=2009是否有解？说明理由．

Answer 1

分析：（1）由S₄=2S₂+4，知4a1+

3×4

2

d=2(2a1+d)+4，由此能求出公差d的值；
（2）解法1：由a_n=a₁+（n-1）d=n+a₁-1，知Sn=

a1+an

2

n=

1

2

[n2+(2a1-1)n]，再由对任意的n∈N^*，都有S_n≥S₈，知

15

2

≤-

2a1-1

2

≤

17

2

，由此能求出a₁的取值范围．
解法2：由于等差数列{a_n}的公差d=1＞0，S_n要取得最大值，必须有

a8≤0 a9≥0

，由此能求出a₁的取值范围．
（3）由于等比数列{b_n}满足b2=

1

9

，T2=

4

9

b1q= 1 9 b1+b1q= 4 9

，b1=

1

3

   q=

1

3

Tn=

1 3 [1-( 1 3 )n]

1- 1 3

=

1

2

[1-(

1

3

)n]，Sn=na1+

1

2

n(n-1)d=

1

2

n2，所以方程S_n+T_n=2009转化为：n2+[1-(

1

3

)n]=4018，由此推导出方程S_n+T_n=2009无解．

解答：解：（1）∵S₄=2S₂+4，∴4a1+

3×4

2

d=2(2a1+d)+4（2分）
解得d=1（4分）
（2）解法1：a_n=a₁+（n-1）d=n+a₁-1（1分）
Sn=

a1+an

2

n=

1

2

[n2+(2a1-1)n]
∵对任意的n∈N^*，都有S_n≥S₈，∴

15

2

≤-

2a1-1

2

≤

17

2

（4分）
∴-8≤a₁≤-7
∴a₁的取值范围是[-8，-7]（5分）
解法2：由于等差数列{a_n}的公差d=1＞0，S_n要取得最大值，
必须有

a8≤0 a9≥0

（1分）

a1+7d≤0 a1+8d≥0

求得-8≤a₁≤-7（4分）
∴a₁的取值范围是[-8，-7]（5分）

（3）由于等比数列{b_n}满足b2=

1

9

，T2=

4

9

b1q= 1 9 b1+b1q= 4 9

（1分）
b1=

1

3

   q=

1

3

Tn=

1 3 [1-( 1 3 )n]

1- 1 3

=

1

2

[1-(

1

3

)n]（2分）
Sn=na1+

1

2

n(n-1)d=

1

2

n2（3分）
则方程S_n+T_n=2009转化为：n2+[1-(

1

3

)n]=4018（3分）
令：f(n)=n2+1-(

1

3

)n，
由于f(n+1)-f(n)=2n+1+

2

3

(

1

3

)n＞0
所以f（n）单调递增（4分）
当1≤n≤63时，f(n)≤632+[1-(

1

3

)63]＜632+1=3970（5分）
当n≥64时，f(n)≥642+[1-(

1

3

)64]＞642=4096（6分）
综合：方程S_n+T_n=2009无解．

点评：本题考查数列的性质 和应用，解题时要认真审题，仔细求解，通过一题多解不断提高解题能力．