Question

已知函数f(x)=

1

3

x3-

a+1

2

x²+bx+a（a，b∈R），且其导函数f′（x）的图象过原点．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在x=3处的切线方程；
（Ⅱ）若存在x＜0，使得f′（x）=-9，求a的最大值；
（Ⅲ）当a＞0时，求函数f（x）的零点个数．

Answer 1

f(x)=

1

3

x3-

a+1

2

x2+bx+a，f'（x）=x²-（a+1）x+b
由f'（0）=0得b=0，f'（x）=x（x-a-1）．
（Ⅰ）当a=1时，f(x)=

1

3

x3-x2+1，f'（x）=x（x-2），f（3）=1，f'（3）=3
所以函数f（x）的图象在x=3处的切线方程为y-1=3（x-3），即3x-y-8=0；
（Ⅱ）存在x＜0，使得f'（x）=x（x-a-1）=-9，-a-1=-x-

9

x

=(-x)+(-

9

x

)≥2

(-x)•(- 9 x

)=6，a≤-7，
当且仅当x=-3时，a=-7，所以a的最大值为-7；
（Ⅲ）当a＞0时，x，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

f（x）的极大值f（0）=a＞0，
f（x）的极小值f(a+1)=a-

1

6

(a+1)3=-

1

6

[a3+3(a-

1

2

)2+

1

4

]＜0
又f(-2)=-a-

14

3

＜0，f(x)=

1

3

x2[x-

3

2

(a+1)]+a，f(

3

2

(a+1))=a＞0．
所以函数f（x）在区间(-2，0)，(0，a+1)，(a+1，

3

2

(a+1))内各有一个零点，
故函数f（x）共有三个零点．