【题目】记函数的定义域为D. 如果存在实数、使得对任意满
足且的x恒成立,则称为函数.
(1)设函数,试判断是否为函数,并说明理由;
(2)设函数,其中常数,证明: 是函数;
(3)若是定义在上的函数,且函数的图象关于直线(m为常数)对称,试判断是否为周期函数?并证明你的结论.
【答案】(1) 是函数(2)见解析(3) 函数为周期函数
【解析】试题分析: 求出的定义域, 对任意恒成立转化成对任意恒成立,解出,使得
为函数只需证明存在实数, 使得当且时, 恒成立,化简求得, ,满足条件图象关于直线对称,结合,整体换元得,从而证明结论
解析:(1)是函数
理由如下: 的定义域为,
只需证明存在实数, 使得对任意恒成立.
由,得,即.
所以对任意恒成立. 即
从而存在,使对任意恒成立.
所以是函数.
(2)记的定义域为,只需证明存在实数, 使得当且时,
恒成立,即恒成立.
所以,
化简得, .
所以, . 因为,可得, ,
即存在实数, 满足条件,从而是函数.
(3)函数的图象关于直线(为常数)对称,
所以 (1),
又因为 (2),
所以当时,
由(1)
由(2) (3)
所以
(取由(3)得)
再利用(3)式, .
所以为周期函数,其一个周期为.
当时,即,又,
所以为常数. 所以函数为常数函数,
, 是一个周期函数.
综上,函数为周期函数
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【题目】设椭圆的左、右焦点分别为、,过的直线交椭圆于,两点,若椭圆的离心率为,的周长为16.
(1)求椭圆的方程;
(2)设不经过椭圆的中心而平行于弦的直线交椭圆于点,,设弦,的中点分别为,.证明:,,三点共线.
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【题目】随着资本市场的强势进入,互联网共享单车“忽如一夜春风来”,遍布了一二线城市的大街小巷.为了解共享单车在市的使用情况,某调查机构借助网络进行了问卷调查,并从参与调查的网友中随机抽取了200人进行抽样分析,得到下表(单位:人):
经常使用 | 偶尔或不用 | 合计 | |
30岁及以下 | 70 | 30 | 100 |
30岁以上 | 60 | 40 | 100 |
合计 | 130 | 70 | 200 |
(1)根据以上数据,能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关?
(2)现从所有抽取的30岁以上的网民中利用分层抽样抽取5人,
求这5人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数;
从这5人中,在随机选出2人赠送一件礼品,求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.
参考公式: ,其中.
() | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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【题目】下列各题中,是的什么条件?
(1)为自然数,为整数;
(2);
(3);
(4):四边形的一组对边相等,:四边形为平行四边形;
(5):四边形的对角线互相垂直,:四边形为菱形.
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【题目】《九章算术》中有如下问题:今有蒲生一日,长三尺,莞生一日,长1尺.蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长等?意思是:今有蒲第一天长高3尺,莞第一天长高1尺,以后蒲每天长高前一天的一半,莞每天长高前一天的2倍.若蒲、莞长度相等,则所需时间为()
(结果精确到0.1.参考数据:lg2=0.3010,lg3=0.4771.)
A.2.6天B.2.2天C.2.4天D.2.8天
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【题目】某工厂拟建一座平面图为矩形,面积为,高度一定的三段污水处理池(如图),由于受地形限制,其长、宽都不超过,如果池的外壁的建造费单价为元,池中两道隔壁墙(与宽边平行)的建造费单价为元,池底的建造费单价为元.设水池的长为,总造价为.
(1)求的表达式;
(2)水池的长与宽各是多少时,总造价最低,并求出这个最低造价.
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